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Pression et détente
De combien la pression diminue-t-elle avec l'altitude ?


Avec l'altitude, la pression aura baissé de moitié au niveau du Mont-Blanc .

air compressible L'air ne tient sur Terre que par la force de gravité.

De manière quantitative, la "relation fondamentale de la statique" indique que sur "une poche d'air" à l'équilibre, la somme des forces est nulle ; cette poche d'air est soumise à 2 types de forces :

- la force de gravité, s'il était seul : - m*g , en décidant d'un repère orienté vers le haut ; et de part la faible hauteur relative de la troposphère (0,1% du rayon terrestre), g est supposé constant.

- les forces de pression des poches d'air environnantes : celles à coté n'ont aucun effet la gravité étant verticale, celle de dessus exerce une force de -P(z+dz)*S, celle de dessous une force de réaction de P(z)*S.

Ainsi : -m*g/S-(P(z+dz)-P(z))=0, ou : grad.P + m/V*g = 0

En première approximation, nous supposerons que l'air n'est pas compressible. Le volume d'air est donc constant, d'où P-Po = -m/V*g*h avec h pour altitude. A la surface du sol, la pression Po est 101300 Pascal, la densité de l'air de 1,23 kg/m3, g constant à 9,81, soit P=101300-12*h.

Par exemple, au sommet du Mont Blanc (4807m), la pression serait de 44000 Pa, soit 43% de la pression atmosphérique normale. Et au sommet de l'Everest (8846m), la pression serait de -5000 Pa, soit une valeur négative ! Cela signifie que pour les grandes altitudes, l'hypothèse de l'air incomprésible amène à des résultats absurdes.

En seconde approximation, nous supposerons l'air compressible selon la loi des gaz parfaits ;

a) supposons que nous soyons à température constante, c'est à dire que si la pression diminue de moitié, le volume augmente de moitié.

grad.P+m/V*g = dp/dz+m*(P/(n*R*T))*g = 0

ou dp/P = - m*g/(n*R*T)*dz

soit ln(P/Po)= - m/n*g/(R*T)*(z-zo) avec m/n=0,029 kg/mol et (z-zo)=h pour altitude

donc P = Po * exp(-0,00012*h)

Au sommet du Mont Blanc (4807m), la presssion serait de 57000 Pa, soit 56% de Po,

et au sommet de l'Everest (8846m), la pression serait de 35000 Pa, soit 35% de Po.

b)supposons à présent que nous soyons à température non constante (voir chapitre : pourquoi l'air se refroidit avec l'altitude) selon l'approximation linéaire :

T=To-(a*z), avec a=0,0058 (ainsi, à 12 km, T=-55°C)

Le calcul donne P = Po*((To-a*h)/To)^((m*g*To)/(V*a*Po),

soit P = Po*(1-0,00002*h)^5,9

Au sommet du Mont Blanc (4807m), la presssion serait de 56000 Pa, soit 55% de Po,

et au sommet de l'Everest (8846m), la pression serait de 32000 Pa, soit 32% de Po

Comparons avec les données réelles :

Pression (en atm.)

REEL

air compressible

temp. constante

air compressible

temp. variable

Formule   P=Po*exp(-0,00012*h) P=Po*(1-0,00002*h)^5,9

Sommet du Mont Blanc

0,54 atm.

0,56 atm.

0,55 atm.

Sommet de l'Everest

0,32 atm.

0,35 atm.

0,32 atm.

Corrélation / réel

 

bonne

très bonne

La variabilité de la température n'est pas le critère prépondérant, mais prendre en compte la compressibilité de l'air est nécessaire pour calculer la variation de la pression en fonction de l'altitude. D'autres hypothèses de calcul seraient également possible, comme une variation non lineaire de la température, ou une détente isentropique avec l'altitude...